Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率和准线方程求的a和c，再根据b²=c²-a²求得b，进而可得双曲线的方程．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x₀和y₀，把点M代入圆的方程气的m．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得

a2 c = 3 3 c a = 3

，解得a=1，c=

3

，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由

x-y+m=0 x2- y2 2 =1

得x²-2mx-m²-2=0（判别式△＞0），
∴x0=

x1+x2

2

=m，y₀=x₀+m=2m，
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力