Question

（2010•孝感模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有Sn=n2+

1

2

an．
（I）求证：a_n+1+a_n=4n+2；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）是否存在实数a，使不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

2a2-3

2a 2n+1

对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由Sn=n2+

1

2

an(n∈N*)，知an+1=Sn+1-Sn=[(n+1)2+

1

2

an+1]-[n2+

1

2

an ]，由此能够导出an+1+an=4n+2，n∈N*．
（II）在Sn=n2+

1

2

an(n∈N*)中，令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．由a_n+1+a_n=4n+2，知a_n+2+a_n+1=4n+6，故a_n+2-a_n=4，由此能导出数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III）(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

) ＜

2a2-3

2a 2n+1

等价于

2n+1

(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

2a2-3

2a

，令f（n）=

2n+1

(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．

解答：解：（I）∵Sn=n2+

1

2

an(n∈N*)，
∴an+1=Sn+1-Sn=[(n+1)2+

1

2

an+1]-[n2+

1

2

an ]
=

1

2

an+1-

1

2

an+2n+1，
∴

1

2

(an+1+an)=2n+1，
即an+1+an=4n+2，n∈N*．
（II）在Sn=n2+

1

2

an(n∈N*)中，
令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，∴a_n+2+a_n+1=4n+6，
两式相减，得：a_n+2-a_n=4，
∴数列{a_n}的偶数项a₂，a₄，a₆，…，a₂₆，…依次构成一个等差数列，
且公差为d=4，
∴当n为偶数时，an=a2+(

n

2

-1)d=2+4(

n

2

-1)=2n，
当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：
a_n=4n+2-a_n+1=4n+2-2（n+1）=2n，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III）(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

) ＜

2a2-3

2a 2n+1

，
等价于

2n+1

(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)＜

2a2-3

2a

，
令f（n）=

2n+1

(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)，
则由（II）知f（n）＞0，
∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+3 (1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )(1- 1 an+1 )

2n+1 (1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )

═

2n+3 (1- 1 an+1 )

2n+1

=

2n+3 (1- 1 2n+2 )

2n+1

=

(2n+3)(2n+1)

2n+2

=

(2n+2)2-1

2n+2

＜1．
∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，
∴n∈N^*时，f（n）的最大值为f(1)=

3

2

，若存在实数a，符合题意，
则必有：

2a2-3

2a

＞

3

2

，
即

2a2- 3 a-3

2a

＞0，
它等价于a(a-

3

)(a+

3

2

)＞0，
解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

，
因此，存在实数a，符合题意，
其取值范围为(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．