Question

日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100).求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:

(1)90%;                  (2)98%.

Answer 1

分析：本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力.

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

c′(x)=()′

=

=

=.

(1)因为c′(90)==52.84,所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.

(2)因为c′(98)==1 321,所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1 321元/吨.

点评:函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,c′(98)=25c′(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.