Question

设定点F₁（0，-4）、F₂（0，4），动点P满足条件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

（a为大于0的常数），则点P的轨迹是（　　）

A．椭圆

B．线段

C．不存在

D．椭圆或线段

Answer 1

分析：由基本不等式可得 a+

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a

≥8，当a+

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a

=8时，点P满足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的轨迹是线段F₁F₂；a+

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a

＞8时，点P满足|PF₁|+|PF₂|为常数，且大于线段|F₁F₂|的长，P的轨迹是椭圆．

解答：解：∵a＞0，∴a+

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a

≥2

a• 16 a

=8．
当  a+

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a

=8=|F₁F₂|时，由点P满足条件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

=|F₁F₂|得，点P的轨迹是线段F₁F₂．
当  a+

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a

＞8=|F₁F₂|时，由点P满足条件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

＞|F₁F₂|，满足椭圆的定义，所以点P的轨迹是以F₁、F₂ 为焦点的椭圆．
综上，点P的轨迹是线段F₁F₂ 或椭圆，
故选 D．

点评：本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a+

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a

的范围是解题的关键．