Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．
（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K₁，K₂，K₁+K₂=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．
解答：解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，
（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线
直线l与椭圆C交于A、B两点，
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K₁，K₂，∴K₁+K₂=0，∵
=
=
故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．