Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）当SA=2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为

4

9

，求SA的长．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出SCD 的法向量

n

，利用

SA

与

n

夹角余弦得值去解决．
（2）求出平面SCD与平面SAB 的法向量

n

，

m

，利用面SCD与平面SAB所成角与

n

，

m

的夹角相等或互补的关系去解决．

解答：解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

n

各点坐标 A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）

SD

=（1，0，-2）

SC

=（2，2，-2），
设面SCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • SD =0 n • SC =0

即

x-2z=0 2x+2y-2z=0

取z=1．则

n

=(2，-1，1) 
又

AS

=（0，0，2）
|cos＜

n

，

AS

＞=

| n • AS |

| n |• | AS |

=

2

6 ×2

=

6

6

．∴直线SA与平面SCD所成角的正弦值等于

6

6

．
（2）设SA=a，则 S（0，0，a），

SD

=（1，0，-a）

SC

=（2，2，-a），
设面SCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • SD =0 n • SC =0

即

x-az=0 2x+2y-az=0

取z=1．则

n

=(a，-

a

2

，1)
又面SAB的一个法向量为

m

=（1，0，0），|cos＜

m

，  

n

＞|=

| m ，  n |

| m | •| n |

=

a

5a2 4 + 1

=

4

9

，解得a=

4 61

61

点评：本题考用空间向量解决直线和平面位置关系、二面角大小，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力．属于常规题目．