Question

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆C的右准线上的点P(2,),满足线段PF₁的中垂线过点F₂,直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若在椭圆C上存在点Q,满足+=λ(O为坐标原点),求实数λ的取值范围;

(3)在(2)的条件下,当λ取何值时,△ABO的面积最大,并求出这个最大值.

Answer 1

解:(1)设椭圆C的方程为=1(a＞b＞0),半焦距为c,依题意有

解得∴b=1.

∴所求椭圆方程为+y²=1.

(2)由得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.

设点A、B的坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

则 y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2m=.

(ⅰ)当m=0时,点A、B关于原点对称,则λ=0.

(ⅱ)当m≠0时,点A、B不关于原点对称,则λ≠0,

由+=λ,得即.

∵点Q在椭圆上,∴有［］²+2［］²=2.

化简,得4m²(1+2k²)=λ²(1+2k²)².∵1+2k²≠0,∴有4m²=λ²(1+2k²).① 

又∵Δ=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(1+2k²-m²),∴由Δ＞0,得1+2k²＞m².② 

由①②两式,得4m²＞λ²m².∵m≠0,∴λ²＜4,则-2＜λ＜2且λ≠0.

综合(ⅰ)、(ⅱ)两种情况,得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2.

(3)∵|AB|=|x₁-x₂|,点O到直线AB的距离d=,

∴△AOB的面积S=|m||x₁-x₂|=|m|=.

由①有1+2k²=,代入上式并化简,得S=.

∵≤2,∴S≤.

当且仅当λ²=4-λ²,即λ=±时,等号成立.

∴当λ=±2时,△ABO的面积最大,最大值为.