Question

已知定点Q（0，5）和圆C：（x+2）²+（y-6）²=4²．
（1）若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为，求直线l的方程；
（2）求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹是什么？

Answer 1

解：（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2
2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，
∵|AB|=4，r=4，
∴|CM|=2，…4
则由|CM|==2得：k=，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6
∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7
（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8
∴，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10
∴=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x²+y²+2x-11y+30=0，…11
∴点P的轨迹方程为：：x²+y²+2x-11y+30=0，（（x+2）²+（y-6）²＜16）…13
∴点P的轨迹是以为（-1，）为圆心，为半径的圆，在圆（x+2）²+（y-6）²=16的内部的一段弧…14
分析：（1）可分直线l斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，当直线l斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，在直角三角形CMA中，求得点C到直线l的距离，从而可求得k，可求直线l的方程；
（2）设弦中点P（x，y），=（x+2，y-6），=（x，y-5），即可求得过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，着重考查弦心距，弦长之半，与半径组成的直角三角形的应用，考察学生综合分析与应用的能力，属于中档题．