Question

已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有（k为常数）．
（1）若，求证：a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差数列，求的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把，代入，令n=1化简即可证明；
（2）当k=0时，，由于数列{a_n}的各项都为正数，可得数列{a_n}是等比数列，设公比为q＞0，根据a₂，a₄，a₅成等差数列，可得a₂+a₅=2a₄，即，解出即可；
（3）存在常数λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．由，及，可得，由于a_n＞0，两边同除以a_na_n+1，得到，进而=…=，即当n∈N^*时，都有，再利用已知求出a₁，a₂，a₃即可证明．
解答：（1）证明：∵，
∴，
令n=1，则，
∵a₁＞0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）当k=0时，，
∵数列{a_n}的各项都为正数，
∴数列{a_n}是等比数列，设公比为q＞0，
∵a₂，a₄，a₅成等差数列，
∴a₂+a₅=2a₄，∴，
∵a₁＞0，q＞0，
∴q³-2q²+1=0，
化为（q-1）（q²-q-1）=0，解得q=1或．
∴或．
（3）存在常数λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．
证明如下：∵，∴，
∴，即，
由于a_n＞0，两边同除以a_na_n+1，得到，
∴=…=，
即当n∈N^*时，都有，
∵a₁=a，a₂=b，，
∴a₃=．∴=．
∴存在常数λ=，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．
点评：本题综合考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式，灵活的变形推理能力和计算能力．