Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x²+y²-6y-4=0．
（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；
（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．所以，A（-2，0），a=2，又因为，，所以，，由此能够得到椭圆C的方程．
（2）由△AFQ为等腰三角形，知2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0，又0＜e＜1，所以，由此得到椭圆离心率取值范围．
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．所以，=．⊙D：x²+（y-3）²=13，，所以．由此能够求出弦长MN的取值范围．
解答：解：（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因为，，
所以，，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，椭圆C的方程为：．（5分）
（2）由图知△AFQ为等腰三角形（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以，即椭圆离心率取值范围为．（10分）
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，
=
⊙D：x²+（y-3）²=13，
所以，（13分）
设P（x，y），则且-1≤y＜0
所以，PD²=x²+（y-3）²=-3y²-6y²+13=-3（y+1）²+16（-1≤y＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，．（16分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．