Question

【题目】黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合.

（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；

（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀）

Answer 1

【答案】（1）洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为.（2）第8个观测点

【解析】

（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量，则，，利用递推关系求出即可得结果；（2）由题意可知， ， 两式结合化简可得数列是以18为首项，为公比的等比数列， 求出通项公式，解不等式即可得结果.

（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量，

则，.

由题意可知，，

，

即经过第二个观测点时，洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为.

（2）由题意可知，

，

由于题目中问题考虑河水中含沙量之差，故可考虑数列，

由上式可知，，，

所以数列是以18为首项，为公比的等比数列，

则，令则，，

即从第8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于.