Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+bc-2b³（b，c∈R），函数g（x）=m[f（x）]²+p（其中m．p∈R，且mp＜0），给出下列结论：
①函数f（x）不可能是定义域上的单调函数；
②函数f（x）的图象关于点（-b，0）对称；
③函数g（x）=可能不存在零点（注：使关于x的方程g（x）=0的实数x叫做函数g（x）的零点）；
④关于x的方程g（x）=0的解集不可能为{-1，1，4，5}．
其中正确结论的序号为________（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

②④
分析：①求导函数可得：f′（x）=3x²+6bx+c，当36b²-12c≤0时，f′（x）≥0，函数为增函数；
②验证f（-x-2b）=-f（x）即可；
③函数g（x）=m[f（x）]²+p，∴g（x）=0时，[f（x）]²=-，此方程一定有解；
④关于x的方程g（x）=0的解集，即f（x）=0的解集，根据函数f（x）的图象关于点（-b，0）对称，可得结论
解答：①求导函数可得：f′（x）=3x²+6bx+c，当36b²-12c≤0时，f′（x）≥0，函数为增函数，故①不正确；
②f（-x-2b）=（-x-2b）³+3b（-x-2b）²+c（-x-2b）+bc-2b³=-x³-3bx²-cx-bc+2b³=-f（x），∴函数f（x）的图象关于点（-b，0）对称；
③函数g（x）=m[f（x）]²+p，∴g（x）=0时，[f（x）]²=-，此方程一定有解，∴函数g（x）=0存在零点，故③不正确；
④关于x的方程g（x）=0的解集，即f（x）=0的解集，根据函数f（x）的图象关于点（-b，0）对称，可得解集不可能为{-1，1，4，5}，故④正确
故答案为：②④
点评：本题考查命题的真假判断，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．