Question

【题目】已知函数为奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）判断函数f（x）在（3，+∞）上的单调性，并利用定义证明；

（3）解关于x的不等式f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）（-∞，0）.

【解析】

（1）根据f（x）是奇函数即可得出，从而可求出k＝0；

（2）先写出，根据单调性定义，设x1＞x2＞3，然后作差，通分，提取公因式，可判断出f（x1）＞f（x2），从而得出f（x）在（3，+∞）上单调递增；

（3）根据上面得出的f（x）在（3，+∞）上是增函数，可由f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）得出2x+6＞4x+3×2x+3，解该不等式即可．

解：（1）f（x）是奇函数；

∴f（-x）=-f（x）；

∴；

∴x2-kx+9=x2+kx+9；

∴-kx=kx；

∴k=0；

（2）在（3，+∞）上是增函数，证明如下：

设x1＞x2＞3，则：=；

∵x1＞x2＞3；

∴x1-x2＞0，x1x2＞9，；

∴；

∴f（x1）-f（x2）＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（3，+∞）上是增函数；

（3）由（2）知，f（x）在（3，+∞）上是增函数，且2x+6＞3，4x+3×2x+3＞3；

∴由f（2x+6）＞f（4x+3×2x+3）得，2x+6＞4x+3×2x+3；

∴（2x）2+2×2x-3＜0；

∴-3＜2x＜1；

∴x＜0；

∴原不等式的解集为（-∞，0）．