Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

ax2(a∈R)，函数g（x）=3（x-1）²．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，分别求出f（x）和g（x）的单调区间；
（Ⅲ）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，可得切线的向量，从而可求a的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负取得函数的单调区间；
（Ⅲ）构造新函数，求导函数，分类讨论，确定极值的大小，从而可得方程解的个数．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=3ax²-3ax…（1分）
∵函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直
∴f'（2）=-1，即12a-6a=-1，解得a=-

1

6

…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1）
∵a＞0，由f'（x）＞0可得x＜0或x＞1；由f'（x）＜0可得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（5分）
函数g（x）=3（x-1）²单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）…（6分）
（Ⅲ）令φ(x)=f(x)-g(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3，
则φ′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)．…（8分）
①若a=0，则φ（x）=-3（x-1）²，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解；
②若a＜0，则φ（x）的极大值为φ（1）=-

a

2

＞0，φ（x）的极，小值为φ（

2

a

）=-

4

a2

+

6

a

-3＜0
∴φ（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解；．…（10分）
③若0＜a＜2，则φ（x）的极大值为φ(1)=-

a

2

＜0，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，
即方程f（x）=g（x）只有一个解；    …（11分）
④若a=2，则φ'（x）=6（x-1）²≥0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，
即方程f（x）=g（x）只有一个解；    …（12分）
⑤若a＞2，由（2）知φ（x）的极大值为φ(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，
∴φ（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解；    …（13分）
综上所述，若a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解；若a＜0方程f（x）=g（x）有三个解．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．