Question

【题目】设椭圆，圆为.

（1）若椭圆的长轴为4，且焦距与椭圆的焦距相等，求椭圆的标准方程；

（2）过圆上任意一点作其切线，若与椭圆交于两点，求证：为定值（为坐标原点）；

（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）求出椭圆的焦距，可得椭圆的焦距，结合椭圆的长轴为4与性质，求出的值，讨论两种情况即可得结果；（2）当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立 ，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示可证明从而可得结果；（3）求得，要求的取值范围，只需求出弦长的取值范围.由弦长公式可得，利用基本不等式可得结果.

（1）设椭圆的标准方程为或，由题知，则，

∴椭圆的标准方程为或；

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设其方程为，则，所以.

②当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，

则由得，即，

故，即

且，

由直线与“相关圆” 相切，得，即，

故

，

从而，即，

综合上述，得为定值.

（3）由于，所以求的取值范围，只需求出弦长的取值范围.

当直线的斜率不存在时，由（2）的①，知；

当直线的斜率存在时，

.

①当时，；

②当时，因为，所以，

故，当且仅当时，，

于是的取值范围为，因此的取值范围为.