Question

已知椭圆G：

x2

4

+y2=1．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式即可求解；
（II）由题意即m得取值范围分m=1时，m=-1及当m≠±1三大类求出|AB|的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到k与m之间关系等式，利用

解答：解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=

3

∴椭圆G的焦点坐标(-

3

，0)  (

3

，0) 离心率e=

c

a

=

3

2

．
（II）由题意知：|m|≥1，
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，

3

2

）  点B（1，-

3

2

） 此时|AB|=

3

；
当m=-1时，同理可得|AB|=

3

；
当|m|＞1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

?（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1•x2=

4k2m2-4

1+4k2

  
又由l与圆x²+y²=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即

|km|

1+k2

=1?m²=

1+k2

k2

，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1•x2]

=

(1+k2)•[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2

]=

4 3 |m|

m2+3

，由于当m=±1时，|AB|=

3

，
当m≠±1时，|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，此时m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
又|AB|=

4 3 |m|

m2+3

 =

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2（当且仅当m=±

3

时，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．

点评：此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问，重点考查了利用m的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立m与k的关系等式，还考查两点间的距离公式及又m的范围解出|AB|的最值．