Question

【题目】若向量 = ， =（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（ + ） ﹣ ．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在 上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵向量 = ， =（sinωx，0），∴函数f（x）=（ + ） ﹣ = + ﹣ = +sin2ωx﹣ = sin2ωx﹣ cos2ωx=sin（2ωx ），
∵函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切时，
切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．
故T=π，m=±1，
即2ω=2，ω=1，
∴ ，m=±1
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移 个单位，
可得 的图象，
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）= 的图象，
当x∈ 时， ∈ ，
故当 = 即x= 时，函数最最大值2，
当 = 即x= 时，函数最最小值﹣1，
故y=g（x）在 上的值域为：[﹣1，2]
【解析】（Ⅰ）由已知结合向量的数量积运算，倍角公式，和差角公式，可得f（x）的表达式及m的值；（Ⅱ）求出y=g（x）解析式，结合正弦函数的图象和性质，可得y=g（x）在 上的值域．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换(图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象)．