Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且当n≥2n∈N₊满足S_n-1是a_n与-3的等差中项．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列的性质得出a_n=2S_n-1+3，然后代入即可求出a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）知a_n=2S_n-1+3进而求出a_n+1=2S_n+3，然后两式相减得出a_n+1=3a_n，再验证a₂=3a₁也满足上式即可得出数列是以3为首项，3为公比的等比数列，得出通项公式．
解答：解：（1）由题知，S_n-1是a_n与-3的等差中项．∴2S_n-1=a_n-3即a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）…（2分）a₄=2S₃+3=2（a₁+a₂+a₃）+3=81…（6分）
（2）由a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）①a_n+1=2S_n+3（n∈N^*）②…（7分）
②-①得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）③…（10分）∵a₂=3a₁也满足③式   
即a_n+1=3a_n（n∈N^*）∴{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）…（12分）
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题要认真审题，注意验证a₂=3a₁也满足上式．属于中档题．