Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．求证：
（1）直线A₁F∥平面ADE      
（2）AD⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），知A₁F∥AD，由此能证明A₁F∥平面ADE．        
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，知A₁F⊥B₁C₁，故AD⊥BC，再由AD⊥DE，能够证明AD⊥平面BCC₁B₁．

解答：证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），
∴A₁F∥AD，
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．        
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，
∴A₁F⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，∴A₁F⊥BC，
∵A₁F∥AD，AD⊥DE，F为B₁C₁的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．