Question

（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC的面积．
（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两点间的距离公式可得，AB=

5

，BC=

5

，AC=

10

，可求三角形的面积
（2）由题意可设A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5），由A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6及3≤b≤5可得0≤a≤4，C（

a+6

2

，a+6），而S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC-S_△OAC=-

1

4

(a2-2a-24)=-

1

4

(a-1)2+

25

4

，结合二次函数的性质可求面积的最大值

解答：解：（1）由两点间的距离公式可得，AB=

5

，BC=

5

，AC=

10

∴AB²+BC²=AC²即AB⊥BC
S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×

5

×

5

=

5

2

（2）由题意可设A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5）
A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6
∴b=

a+6

2

且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C（

a+6

2

，a+6）
设C，A到直线OB：y=

4

3

x的距离分别为h₁，h₂，点C到直线y=x的距离为h₃
则h1=

a+6

5

，h2=

a

5

，h3=

a+6

2 2

S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC-S_△OAC
=

1

2

OB•(h1+h2)-

1

2

OA•h3=

1

2

×10×

2a+6

5

-

1

2

×

2

a× 

a+6

2 2

=-

1

4

(a2-2a-24)=-

1

4

(a-1)2+

25

4

当a=1时，S_△ABC的面积最大值

25

4

点评：本题主要考查了三角形的面积公式的应用，等差数列的性质的应用，解题（2）的关键是要准确表示出三角形的面积，结合二次函数的性质进行求解，