Question

【题目】已知三棱锥P－ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：

（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）若点M为棱PA上一点且，求二面角P－BC－M的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）如图①，设AC的中点为O，连结.

由题意，得，PO=2，.

因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.

又因为在△POB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB.

因为AC∩OB=O，AC，OB平面ABC，所以PO⊥平面ABC.

又因为PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以.

于是以OC、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，

则，，

，.

设平面MBC的法向量为，则由得，

令，则，即.

设平面PBC的法向量为，由得，

令x2=1，则，即.

.

由图可知，二面角P－BC－M的余弦值为.