Question

在等比数列{a_n}中，a4=

2

3

 ， a3+a5=

20

9

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比大于1，且bn=log3

an

2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q≠0，利用等比数列的通项公式代入已知，可求a₁，q，进而可求通项
（2）由（1）及数列公比大于1，可求a_n，代入bn=log3

an

2

，可求b_n，然后可证b_n-b_n-1=常数，可得数列{b_n}是等差数列，由等差数列的求和公式可求

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q≠0，
∵a4=

2

3

 ， a3+a5=

20

9

∴

2

3q

+

2q

3

=

20

9

所以

2

q

+2q=

20

3

，解得q1=

1

3

，q2=3，
当q1=

1

3

时，a₁=18．所以an=18×(

1

3

)n-1=2×33-n．
当q₂=3时，a1=

2

81

，所以an=

2

81

×3n-1=2×3n-5．
（2）由（1）及数列公比大于1，得q=3，an=2×3n-5，
∴bn=log3

an

2

=log33n-5=n-5，b_n-b_n-1=1（常数），
∵b₁=-4．
所以数列{b_n}为首项为-4，公差为1的等差数列，
由等差数列的求和公式可得，Sn=

b1+bn

2

n=

n2-9n

2

．

点评：本题主要考查了利用等比数列的基本量a₁，q表示等比数列的项及等比数列的通项公式的应用，等差数列的证明及求和公式等知识的综合应用．