Question

【题目】已知椭圆的一个顶点为,且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,点M在椭圆上,且满求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）根据双曲线的标准方程，可得其离心率，进而根据题设可求得椭圆的离心率，再根据椭圆的顶点A的坐标，进而可求得b和a，椭圆的方程可得；

（2）先设直线l的方程为，，直线和椭圆相交，联立方程可得含有k的一元二次方程，再根据韦达定理可知和，再根据，用点A，B表示点M，代入椭圆的标准方程可得k.

详解：(1)因为双曲

所以椭圆的离心率

因为b=1,所以a=2.

故椭圆的方程

(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

(1+4k2)x2+8kx=0,

所以x1+x2=

因

所以m

因为点M在椭圆上,

所以m2+4n2=4,

所

所以y1y2=0,

所以(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k·

即k2

所以k=

此时Δ=(8k)2-4(1+4k2)×0=64k2=16>0,

故k的值