Question

【题目】设函数.

（1）若在点处的切线为，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）若，求证：在时，.

Answer 1

【答案】(1) 切线方程得：,(2) 当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；（3）见解析．

．

【解析】试题分析:

（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）= ，解得 ，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；

（II）由（I）知：f′（x）＝ （x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；

（III）通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，利用g′（x）= ，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得结论．

（1）∵，∴，

又在点的切线的斜率为，∴，∴，

∴切点为把切点代入切线方程得：；

（2）由（1）知：①当时，在上恒成立，

∴在上是单调减函数，②当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.

(3)当时，要证，即证，令，只需证，∵由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，，∴，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，，又，等号不成立，∴.

点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．