Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，短轴长为2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），是椭圆上的两点，向量

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

.

n

=0，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用离心率e=

3

2

，短轴长为2求出a，b，c即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+b，联立直线方程和椭圆的方程整理后求出A，B的坐标与k，b的关系；再结合

m

.

n

=0求出对应结论，代入△AOB的面积计算公式，整理后即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：2b=2，b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

则a=2，c=

3

所以椭圆的方程为

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）因为x₁≠x₂，设直线AB的方程为y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0，
则△=4k²b²-4（k²+4）（b²-4）＞0且x1+x2=

-2kb

k2+4

，x1x2=

b2-4

k2+4

∵

m

.

n

=0
∴4x₁x₂+y₁y₂=0即4x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0
代入整理得：2b²-k²=4
∴S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1

∴△AOB的面积为定值1

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量知识的运用．本题是圆锥曲线题目中的常考题，解决第二问的关键在于把直线方程和椭圆的方程利用其对应结论，这也是这一类题目的常用做法．