Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点O，连结PO、BO、BD．利用含有60°的菱形的性质，证出OB⊥AD，等腰△PAD中证出PO⊥AD，从而得出AD⊥平面POB，进而可得AD⊥PB；
（2）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．证明：连结OE、OC，菱形ABCD中，利用已知条件证出四边形DOEC为平行四边形，设DE∩OC=M，利用中位线定理证出FM∥PO．利用面面垂直性质定理，证出PO⊥平面ABCD，从而FM⊥平面ABCD，根据FM?平面DEF，即可得到平面DEF⊥平面ABCD．

解答：解：（1）取AD的中点O，连结PO、BO、BD
∵PA=PD，∴PO⊥AD
∵底面ABCD是含有60°的菱形，∠BAD=60°，O为AD中点
∴△ABD是正三角形，可得OB⊥AD，
∵PO、OB是平面POB内的相交直线，∴AD⊥平面POB
∵PB?平面POB，∴AD⊥PB；
（2）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，证明如下
连结OE、OC
∵菱形ABCD中，E为BC的中点，O为AD的中点
∴DO

∥

.

CE，可得四边形DOEC为平行四边形
设DE∩OC=M，可得M为OC的中点，得FM∥PO
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD，可得FM⊥平面ABCD，
∵FM?平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD

点评：本题在四棱锥中证明异面垂直，并判断面面垂直的存在性．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、面面垂直性质定理和平行四边形与菱形的性质等知识，属于中档题．