Question

已知：O为坐标原点，点F、T、M、P₁满足，，．
（1）当t变化时，求点P₁的轨迹C；
（2）若P₂是轨迹C上不同于P₁的另一点，且存在非零实数λ，使得，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P1（x，y），根据题设的条件建立关于点P₁的坐标x，y的等式．
（2）设过P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 两点的直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）代入y²=4x得到关于x的一元二次方程，利用根系关系得到x的一元二次方程，利用根系关系得到两根之和与两根之差．解出两线段长度的倒数和，解得其值为定值．
解答：解：（1）设P₁（x，y），则由：得M是线段FT的中点，得M（0，）
∴=（-x，-y）
又∵=（-2，t），=（-1-x，t-y）
∵⊥∴2x+t（-y）=0  ①
∵_∥
∴（-1-x）•0+（t-y）•1=0化简得：t=y  ②
由①、②得：y²=4x
这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解．）
（2）易知F（1，0）是抛物线y²=4x的焦点，由，
得（x₁，y₁），P₂（x₂
设过P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 两点的直线P₁P₂的方程为：y=k（x-1）代入y²=4x
得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
则x₁x₂=1，x₁+x₂=
∴₌==1．
点评：考查用参数法求轨迹方程与直线与圆的位置关系，本题两个题运算量都较大，解题过程较长，要严谨做题．