【题目】已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
【答案】(1)证明见解析(2)圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5
【解析】
(1)先求出圆C的方程(x-t)2+=t2+,再求出|OA|,|0B|的长,即得△OAB的面积为定值;(2)根据t得到t=2或t=-2,再对t分类讨论得到圆C的方程.
(1)证明:因为圆C过原点O,所以OC2=t2+.
设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
所以S△OAB=OA·OB=×|2t|×||=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)因为OM=ON,CM=CN,所以OC垂直平分线段MN.
因为kMN=-2,所以kOC=.
所以t,解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,
此时,圆心C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,
所以t=-2不符合题意,舍去.
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
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【题目】已知数列是首项的等差数列,设.
(1)求证:是等比数列;
(2)记,求数列的前项和;
(3)在(2)的条件下,记,若对任意正整数,不等式恒成立,求整数的最大值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面为梯形,,.是的中点,底面,在平面上的正投影为点,延长交于点.
(1)求证:为中点;
(2)若,,在棱上确定一点,使得平面,并求出与面所成角的正弦值.
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【题目】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式,在国内得到迅速推广.最近,某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士,结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”,其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
(1)从这些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率;
(2)从这些男士中抽取一人,女士中抽取两人,记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为,求的分布列与数学期望.
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【题目】家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A类服务员12名,B类服务员名
(1)若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B类服务员的人数是16, 求的值
(2)某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择
①请列出该客户的所有可能选择的情况
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率来源:学|科|网]
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【题目】已知椭圆 的长轴长是短轴长的2倍,且过点.
⑴求椭圆的方程;
⑵若在椭圆上有相异的两点(三点不共线),为坐标原点,且直线,直线,直线的斜率满足.
(ⅰ)求证: 是定值;
(ⅱ)设的面积为,当取得最大值时,求直线的方程.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.
求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的中点P到坐标原点O的距离.
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