Question

【题目】如图，直角梯形，，将沿折起来，使平面平面.如图，设为的中点，，的中点为.

（）求证：平面.

（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（）在线段上是否存在点，使得平面，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）通过面面垂直的性质证得；

（2）建立空间直角坐标系，计算出两个半平面的法向量所成角的余弦值即可得解；

（3）假设存在，设出点的坐标，利用求解，找出矛盾.

（1），的中点为，连接，必有，

由题：平面平面，交线为，平面，

根据面面垂直的性质可得平面；

（2）取中点，连接，则，

由图1直角梯形可知，为正方形，

，

所以

由（1）平面，所以两两互相垂直，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，

则，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，取，则

即平面的法向量为，平面，

取平面的法向量

平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）假设线段上是否存在点，使得平面，设，

所以，必有

即，，解得，与矛盾，

所以线段上不存在点，使得平面.