Question

【题目】三棱锥中，，△为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为.则三棱锥体积的最大值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知作出图象，找出二面角的平面角，设出的长，即可求出三棱锥的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有长度的字母表示），再设出球心，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得的长度，则三棱锥体积的最大值可求.

如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，

则为二面角的平面角的补角，即有，

易知面，则，而△为等边三角形，

∴为中点，

设，

则c，

故三棱锥的体积为：，

当且仅当时，体积最大，此时共线.

设三棱锥的外接球的球心为，半径为，

由已知，，得.

过点作于F，则四边形为矩形，

则， ，，

在△中，解得

∴三棱锥的体积的最大值为：.

故选：D.