Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、G、F分别是棱B₁B、D₁D、DA的中点．
（Ⅰ）求证：平面AD₁E∥平面BGF；
（Ⅱ）求证：D₁E⊥平面AEC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证平面AD₁E∥平面BGF，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，根据中位线可知BE∥D₁F且BE=D₁F，则四边形BED₁F为平行四边形即D₁E∥BF，又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E，根据线面平行的判定定理可知BF∥平面AD₁E，同理可证GF∥AD₁，又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E，从而GF∥平面AD₁E，又BF∩GF=F，满足定理所需的条件；
（Ⅱ）根据AD₁²=D₁E²+AE²可知D₁E⊥AE，而AC⊥BD，AC⊥D₁D，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．根据线面垂直的判定定理可知D₁E⊥平面AEC．

解答：证明：（Ⅰ）∵E，F分别是棱BB₁，DD₁中点∴BE∥D₁F且BE=D₁F
四边形BED₁F为平行四边形∴D₁E∥BF
又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E∴BF∥平面AD₁E（3分）
又G是棱DA的中点∴GF∥AD₁
又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E∴GF∥平面AD₁E（6分）
又BF∩GF=F
平面AD₁E∥平面BGF（7分）
（Ⅱ）AA₁=2，AD₁=

A1A2+A1 D 2 1

=

5

，
同理AE=

2

，D1E=

3

AD₁²=D₁E²+AE²，∴D₁E⊥AE（10分）
∵AC⊥BD，AC⊥D₁D，∴AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D₁E⊥平面AEC．（13分）

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及线面垂直的判定，应熟练记忆平面与平面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．