Question

已知函数f(x)=x³-ax-1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）证明：f(x)=x³-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.

Answer 1

（1）a≤0（2）存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减（3）证明见解析

解析:

（1）由已知f′(x)=3x²-a,

∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，

∴f′(x)=3x²-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，

即a≤3x²对x∈R恒成立.

∵3x²≥0,∴只需a≤0,

又a=0时，f′(x)=3x²≥0,

故f(x)=x³-1在R上是增函数，则a≤0.

（2）  由f′(x)=3x²-a≤0在(-1,1)上恒成立，

得a≥3x²,x∈(-1,1)恒成立.

∵-1＜x＜1,∴3x²＜3,∴只需a≥3.

当a=3时，f′(x)=3(x²-1),

在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,

即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.

故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.

（3）  ∵f(-1)=a-2＜a,

∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.