Question

【题目】设是公差不为零的等差数列，满足数列的通项公式为

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列,中的公共项按从小到大的顺序构成数列，请直接写出数列的通项公式；

（3）记，是否存在正整数 ，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整数m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11使得b2，bm，bn成等差数列

【解析】试题分析:(1)利用基本元的思想,将已知条件转化为的形式,解方程组求得 的值,并求得的通项公式.(2)由于是首项为,公差为的等差数列,且,而是,首项为,第二项为的等差数列,故是首项为,公差为的等差数列,故通项公式为.(3) ,先假设存在这样的数,利用成等差数列,化简得到,利用列举法求得的值.

试题解析:

（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，

所以的通项公式为

(2)

(3),假设存在正整数m、n，使得d5，dm，dn成等差数列，则d5＋dn＝2dm．

所以＋＝， 化简得：2m＝13－．

当n－2＝－1，即n＝1时，m＝11，符合题意；

当n－2＝1，即n＝3时，m＝2，符合题意

当n－2＝3，即n＝5时，m＝5(舍去) ；

当n－2＝9，即n＝11时，m＝6，符合题意．

所以存在正整数m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11

使得b2，bm，bn成等差数列．