Question

【题目】如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.

（1）证明： 和不可能垂直；

（2）当时，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析; （2）.

【解析】试题分析：由于折叠后，经过计算知，这样两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标．

（1）否定性命题，可假设，同时设（），利用向量垂直计算出，如果满足说明存在，如果不满足说明不存在；

（2）由得点坐标，从而可求出平面的法向量，则向量与夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值．

解析：如图甲所示，因为是梯形的高，，所以,因为，，可得，,如图乙所示，， ，，所以有，所以,而，，所以平面,又，所以、、两两垂直．故以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，，,

（1）设其中，所以 ，，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.

（2）因为，所以 ,设平面的一个法向量是，因为，，所以，，即,取,而，所以,所以与平面所成角的正弦值为.