Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．取PD的中点E，连AE、EQ．只需证明平面PAD外的直线BQ平行于平面PAD内的直线AE，即可．
（2）要证平面PBC⊥平面PCD，只需证明AE垂直平面PAD内的两条相交直线CD、PD，BQ∥AE，BQ?平面PBC即可；
（3）法一，说明∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，然后求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，平面PAD的法向量，利用向量的数量积求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答：（1）解：当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．
证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ．
∵Q为PC中点，则EQ为△PCD的中位线，
∴EQ∥CD且EQ=

1

2

CD．
∵AB∥CD且AB=

1

2

CD，∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．

（2）证：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．（9分）

（3）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．
∵BQ∥平面PAD，BQ?平面PBC，∴BQ∥l．
∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．
故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（12分）
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
设PA=AB=AD=

1

2

CD=a，则PD=

PA2+AD2

=

2

a，
PC=

CD2+PD2

=

6

a，故cos∠DPC=

PD

PC

=

3

3

．
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为

3

3

．（14分）

解法二：如图建立直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），
则

PB

=(0，1，-1)，

BC

=(-1，1，0)．
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，则
由

n • PB =0 n • BC =0

?

y-z=0 -x+y=0

?x=y=z，取

n

=(1，1，1)．（11分）
由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量为

AB

=(0，1，0)．（12分）
设所求锐二面角的大小为θ，则cosθ=

| AB • n |

| AB |•| n |

=

1

1• 3

=

3

3

．
∴所求锐二面角的余弦值为

3

3

．（14分）

点评：本题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，还有二面角的计算．高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力．空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种基本方法，前者着重思维，后者重在向量的坐标运算，各有优点，解题时既要具体问题具体分析，又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定．