Question

【题目】已知等边三角形的边长为，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_____

Answer 1

【答案】

【解析】

先证明AD⊥平面BCD，利用二面角的定义得知∠BDC＝90°，利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为BC，设R为三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，得 ，再利用球体表面积公式可得出答案．

如图所示，

折叠前，由于△ABC时等边三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，

折叠后，则有AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD，

∵二面角B﹣AD﹣C为直二面角，∵AD⊥BD，AD⊥CD，则二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC＝90°，

且 ，

Rt△BCD的外接圆直径为，

所以，三棱锥A﹣BCD的外接球半径为，

因此，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4πR2＝80π．

故答案为：80π