Question

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F^-ABCD公共部分的体积.

Answer 1

(1)(2).

试题分析：（1）方法一：连接交于菱形的中心，过作，为垂足，连接，根据定义可知为二面角的平面角，在三角形中求出此角即可；
方法二：设与交点为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设平面，平面的法向量分别为,利用的公式进行计算.
（2）连接，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥的公共部分为四棱锥，过作平面，为垂足，然后求出，利用体积公式求解即可．
试题解析：（1）方法一：如图（1）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O
作OG⊥AF，G为垂足. 连结BG、DG.
由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF， 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，
所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.        3分

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC，.
由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.
即二面角B-AF-D的大小为.          6分

方法二：设AC与BD交点为O，以O为坐标原点，分别以BD 、AC所在直线为x轴
y轴建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)
，，            2分
设平面ABF，平面ADF的法向量分别为
设
由 
令            4分
同理可得  ∴ ∴ 
∴二面角B－AF－D的大小为                   6分
（2）如图（2）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，
则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，
从而.             7分
由，得.        9分
又因为
故四棱锥的体积.     12分