Question

【题目】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.

（1)求抛物线的方程及椭圆的方程；

（2）若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设椭圆的方程为，运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得，进而得到抛物线的方程；

（2）记，运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式，即可得到所求范围.

(1)设椭圆的标准方程为，由题意得，解得

∴椭圆的方程为

∴点的坐标为，∴，∴抛物线的方程是

(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，

由消去整理得（*）∵直线与抛物线交于两点，∴，设，则①，②，

∵，∴∴，③

由①②③消去得.

∴ ，即 ，将代入上式得， ，∵在上单调递减，

∴，即，∴ ，

∴，即的取值范围为.