Question

18、在三棱锥P-ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：先设：AP=a，BP=b，CP=c．再分三种情形讨论：（1）当∠APB=∠APC∠=BPC=90°时，（2）当∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°时，（3）当∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°时，最后利用余弦定理或勾股定理即可进行判断．

解答：证明：设：AP=a，BP=b，CP=c．
（1）当∠APB=∠APC∠=BPC=90°时，
△ABC为锐角三角形，因为：
AB²=a²+b²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²＞AC²，cosA＞0，则A为锐角，同理B，C也是锐角．
（2）当∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°时，
△ABC为直角三角形，因为：
AB²=b²-a²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²=AC²，cosA=0，则A为直角．
（3）当∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°时，
△ABC为钝角三角形，因为：
AB²=b²+a²，AC²=a²-c²，BC²=c²-b²
AC²+BC²＜AB²，cosA＜0，则A为钝角．

点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，以及分类讨论思想和空间想象力，属于中档题．