Question

设数列{a_n}满足：a1=

5

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，且以a₁，a₂，a₃，…，a_n为系数的一元二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根据韦达定理以及已知条件求得an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．进而得到an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)，再通过求数列{a_n-

1

2

]的通项公式来求数列{a_n}的通项；
（2）利用（1）的结论以及等差数列和等比数列的求和公式对所求问题分组求和即可．

解答：解：由3α-αβ+3β=1及韦达定理得3(α+β)-αβ=3

an

an-1

-

1

an-1

=1?an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．
（1）设有λ满足an+λ=

1

3

(an-1+λ)?λ=-

1

2

，即an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)．
所以数列{a_n-

1

2

]是以（a1-

1

2

）为首项，

1

3

为公比的等比数列．
所以an-

1

2

=(a1-

1

2

)•(

1

3

)n-1?an=(

1

3

)n+

1

2

（n∈N^*）
（2）Sn=a1+a2++an=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n+

n

2

=

n+1

2

-

1

2

•(

1

3

)n

点评：本题主要考查数列递推关系式以及等差等比数列求和公式的应用，是对知识的综合考查，属于中档题目．