Question

三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A，B，C三点处（如右图），且AB=AC=20

2

km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OB=x（km），将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设OB=xkm，延长AO交BC于D，由题意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，由此能够将y表示为x的函数．
（Ⅱ）由y=2x+20-

x2-202

，知y′=2-

x

x2-202

，由此能推导出当货物中转站建立在三角形区域内，且到B，C两点的距离均为

40 3

3

km时，修建的道路和总长度最短．

解答：解：（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交BC于D，
由题意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，
OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-

x2-202

，20≤x≤20

2

．
（Ⅱ）∵y=2x+20-

x2-202

，
∴y′=2-

x

x2-202

，
∵20≤x≤20

2

，
∴x∈[20，

40 3

3

）时，y′0．
∴函数在x=

40 3

3

时，取得极小值，这个极小值是函数在[20，20

2

]上的最小值．

所以，当货物中转站建立在三角形区域内，且到B，C两点的距离均为

40 3

3

km时，修建的道路和总长度最短．

点评：本题考查导数在求最大值和求最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．