Question

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

（Ⅰ）证明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（Ⅲ）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：连结A1C、AC，AC和BD交于O，连结C1O． ∵四边形ABCD是菱形，如图 ∴AC⊥BD，BC＝CD． 又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C， ∴△C1BC≌△C1DC，  ∴C1B＝C1D，∵DO＝OB， ∴C1O⊥BD．  但AC⊥BD，AC∩C1O＝O． ∴BD⊥平面AC1，  又C1C平面AC1， ∴C1C⊥BD． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C1O⊥BD， ∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角． 在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60°， ∴C1B2＝22＋（）2－2×2××cos60°＝． ∵∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝1． ∴C1O2＝C1B2－OB2＝－1＝，  ∴C1O＝即C1O＝C1C． 作C1H⊥OC，垂足为H．  ∴点H是OC的中点，且OH＝， 所以cosC1OC＝． （Ⅲ）当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD． 证法一：∵＝1，  ∴BC＝CD＝C1C 又∠BCD＝∠C1CB＝∠C1CD，  由此可推得BD＝C1B＝C1D． ∴三棱锥C—C1BD是正三棱锥．  设A1C与C1O相交于G． ∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC＝2∶1， ∴C1G∶GO＝2∶1．  又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线， ∴点G是正三角形C1BD的中心， ∴CG⊥平面C1BD．  即A1C⊥平面C1BD． 证法二：由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC1， ∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C， 当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，  又BD∩BC1＝B， ∴A1C⊥平面C1BD．