Question

已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆
心的轨迹为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．
（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论（皆不必证明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题知圆圆心为，半径为，设动圆的圆心为
半径为，，由,可知点在圆内，所以点的轨迹是以为焦点
的椭圆，设椭圆的方程为，由，得，
故曲线的方程为                 ………………………………4分
（Ⅱ）当时，由可得
当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点
当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点
当时得，代入，消去整理得：
--------------------------------① …………6分
由点为曲线上一点，故．即
于是方程①可以化简为：
解得．将代入得，说明直线与曲线有且只有一个交点．
综上，不论点在何位置，直线：与曲线恒有且只有一个交点，交点即                           …………………………………………8分
（Ⅲ）更一般的结论：对椭圆，过其上任意一点的切线方程为；
在双曲线中的类似的结论是：过双曲线 上任意一点的切线方程为：．…………………………………12分

解析