Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}是等比数列，又a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{b_n}的公比为q，根据等差等比数列的通项公式建立关于q、d的方程组，解之得d=8且q=3，即可得到{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）由（1）得c_n=（8n-7）•3^n-1，从而得到S_n=1•3+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，将等式两边都乘以3，利用错位相减法并结合等比数列的求和公式化简，可得S_n=（8n-11）•3ⁿ+．
解答：解：（1）设{b_n}的公比为q，可得
∵a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2，
∴，解之得d=8且q=3
因此，a_n=1+8（n-1）=8n-7，b_n=3^n-1；
（2）由（1）得c_n=a_n•b_n=（8n-7）•3^n-1
∴S_n=1•3+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，
两边都乘以3，可得3S_n=1•3¹+9•3²+17•3³+…+（8n-7）•3ⁿ，
相减得：-2S_n=1+8（3+3²+…+3^n-1）-（8n-7）•3ⁿ
=1+-（8n-7）•3ⁿ=1+4（3ⁿ-3）-（8n-7）•3ⁿ=-（8n-11）•3ⁿ-11
∴S_n=（8n-11）•3ⁿ+．
点评：本题给出等差、等比数列满足的条件，求它们的通项公式并求数列{a_n•b_n}的前n项和．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，错位相减法求数列的前n项和与等比数列的求和公式等知识，属于中档题．