Question

已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若
,.

(1)求点P的轨迹方程；
(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

Answer 1

(1) y²=x，此即点P的轨迹方程；
(2)存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。

试题分析：(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t²=|m|， m0，m=-4t²，
 Q(-4t²，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，
=(-4t²-，0)，2=(-，2 t)， +=2。
(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，
 x=4t²，y="2" t， y²=x，此即点P的轨迹方程； 6分。
(2)由(1)，点P的轨迹方程是y²=x；设P(y²，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2
=2=2 10分
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-="0," 即a=时，L=
存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。13分
点评：中档题，首先利用几何条件，确定向量的坐标，并运用向量的坐标运算，确定得到抛物线方程。在直线与圆的去位置关系研究中，充分利用了圆的“特征三角形”，确定弦长。