Question

【题目】已知椭圆 过点（0，﹣2），F1 ， F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，点P是椭圆上一点，PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为 ，
（1）求椭圆E的离心率和方程；
（2）设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为 ，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：b=2．由PF1⊥x轴，把x=c代入题意可得： + =1，解得y= ．

∵△OPF1的面积为 ，∴ = ，可得： = =e，又a2=b2+c2，

联立解得a2=8，c=2．

∴椭圆E的方程为： =1

（2）解：设直线AB的方程为：y=﹣ x+t，与椭圆方程联立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．

△=64t2﹣36（16t2﹣64）＞0，解得 ＜t＜ ．

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴|AB|= = = ．

点O到直线AB的距离d= ．

∴S△OAB= |AB|d= ≤ × =2 ．当且仅当t= 时取等号，满足△＞0．

∴△OAB面积的最大值为2

【解析】（1）由题意可得：b=2．由PF1⊥x轴，把x=c代入题意可得： + =1，解得y= ．可得 = ，可得： = =e，又a2=b2+c2，联立解得a2，c．即可得出．（2）设直线AB的方程为：y=﹣ x+t，与椭圆方程联立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．△＞0，利用根与系数的关系可得：|AB|= ．点O到直线AB的距离d= ．可得S△OAB= |AB|d，利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．