Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=2，Sn=n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{ }的前n项和为Tn ， 求证Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．

∵n=1时，a1=2×1=2，也适合

∴数列{an}的通项公式是an=2n．

（2）解： = = ﹣

∴{ }的前n项和为Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ =

∵0＜ ＜1

∴1﹣ ∈（0，1），即Tn＜1对于一切正整数n均成立．

【解析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得当n≥2时an=2n，再验证n=1时，a1=2×1=2也适合，即可得到数列{an}的通项公式．（2）裂项得 = ﹣ ，由此可得前n项和为Tn=1﹣ ＜1，再结合 ∈（0，1），不难得到Tn＜1对于一切正整数n均成立．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握前n项和公式：才能正确解答此题．