Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

，y=g（x）为k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程，若方程f（x）-g（x）=0有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，1）

B．（-∞，1]

C．（0，1）

D．[0，+∞）

Answer 1

分析：由y=g（x）为k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程，求得g（x）=x+a．我们在同一坐标系中画出函数f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．

解答：解：∵k（x）=lnx+a+1，
∴k′（x）=

1

x

，k（1）=a+1，
∴k′（1）=1，
∴k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程为y-a-1=x-1，
∴g（x）=x+a．
函数f(x)=

2-x-1，x≤0 f(x-1)，x＞0.

的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
所以实数a的取值范围是（-∞，1）．
故选A．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，考查导数的几何意义的应用．将方程f（x）=x+a根的个数，转化为求函数零点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键．