Question

（2010•武汉模拟）已知函数f(x)=

1+x

+

1-x

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在正常数α，使不等式

1+x

+

1-x

≤2-

x2

α

在0≤x≤1恒成立？如果存在，求出最小正数α，否则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性与导数关系，对f（x）求导后，再求解即可．
（2）令

1+x

+

1-x

=t，则x2=1-

1

4

(t2-2)2，又0≤x≤1，则

2

≤t≤2，因此要使

1+x

+

1-x

≤2-

x2

a

恒成立．
只需1-

1

4

(t2-2)2≤a(2-t)在

2

≤t≤2恒成立①．
法1：构造函数g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0，在

2

≤t≤2上恒成立，利用单调性求出g（t）的最小值，令其大于等于0．
法2：对①式中的α进行参数分离，当t=2时，显然成立当

2

≤t＜

2

时，只需α≥

1- 1 4 (t2-2)2

2-t

=

1

4

t2（t+2）恒成立，再求出相应函数的最小值作比较．

解答：解：（1）由f（x）=

1+x

+

1-x

知其定义域为：-1≤x≤1
求导数得到f'（x）=

1

2

（

1

1+x

-

1

1-x

）
 令f'（x）=0得到：x=0

1

1-x

在0≤x＜1时，f'（x）≤0
在-1＜x≤1时，f'（x）≥0
因此f（x）在[0，1]上为减函数，在[-1，0]上为增函数  …（6分）
（2）方法一：令

1+x

+

1-x

=t，则x2=1-

1

4

(t2-2)2，又0≤x≤1，则

2

≤t≤2
因此要使

1+x

+

1-x

≤2-

x2

a

恒成立．
只需1-

1

4

(t2-2)2≤a(2-t)在

2

≤t≤2恒成立．
即需g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0在t∈[

2

，2]上恒成立．只需g（t）的最小值大于等于0
而g'（t）=4[t（t²-2）-α]在

2

≤t≤2上单调递增．
于是：g'（

2

）≤g'（t）≤g'（2）
g'（

2

）=-4α＜0．g'（2）=16-α
若g'（2）=16-α≤0，α≥4，则g（t）在t∈[

2

，2]上为减函数．g（t）的最小值 g（2）=0，符合要求．
若g'（2）=16-α＞0，g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4在t∈[

2

，2]上先减后增． 
 又∵g（2）=0，存在t₀，g（t₀）＜0，不合题意．
因此存在这样的正常数α，且求得α的最小值为4．  …（13分）
方法二：由解法1知只需1-

1

4

(t2-2)2≤α(2-t)在

2

≤t≤2上恒成立
当t=2时，显然成立当

2

≤t＜

2

时，只需α≥

1- 1 4 (t2-2)2

2-t

=

1

4

t2（t+2）恒成立，
又

1

4

t2(t+2)＜

1

4

•22（2+2）=4∴α≥4
即α最小值为4．   …（13分）

点评：本题考查了用函数单调性与导数关系，求单调区间，求最值．考查不等式恒成立问题，用到了函数最值法、分离参数法．考查逻辑思维、计算、分析、转化能力．