Question

已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是

1

λ

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．
①若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围；
②已知F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点坐标，利用动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是

1

λ

，建立方程，化简即可得到动点P的轨迹方程，从而可得方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，确定动点P的轨迹方程．
①确定两圆内含，且圆D在圆E内部．由|MN|²=|MD|²-|DN|²有：|MN|²=|MD|²-4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围；
②解法一：设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，由面积相等得到顶点Q到动直线FG的距离为定值，从而可得结论；
解法二：假设存在，设出直线方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由

λ

|PO|=|PA|，得λ（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：（λ-1）x²+（λ-1）y²+6x-9=0．
∵λ＞0，∴当λ=1时，则方程可化为：2x-3=0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为(x+

3

λ-1

)2+y2=[

3 λ

(λ-1)

]2，即方程表示的曲线是以(-

3

λ-1

，0)为圆心，

3 λ

|λ-1|

为半径的圆．…5分
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x²+y²+2x-3=0，故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
①由|DE|=

(2+1)2+(4-0)2

=5，及5＜8-2有：两圆内含，且圆D在圆E内部．
如图所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²有：|MN|²=|MD|²-4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．
而D是定点，M是圆上的动点，故过D作圆E的直径，得|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，故5≤|MN|²≤165，

5

≤|MN|≤

165

．…9分
②解法一：设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d=

4sinθ

|FG|

=

4sinθ

2rsinθ

=1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）²+y²=1相切．
②解法二：设F，G两点的坐标分别为F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则由|QF|•|QG|=4有：

(x1+3)2+ y 2 1

•

(x2+3)2+ y 2 2

=4，结合

x

2 1

+

y

2 1

+2x1-3=0，

x

2 2

+

y

2 2

+2x2-3=0有：

4x1+12

•

4x2+12

=4⇒x1x2+3(x 1+x2)+8=0，
若经过F、G两点的直线的斜率存在，设直线FG的方程为y=mx+n，
由

y=mx+n x2+y2+2x-3=0

，消去y有：（1+m²）x²+（2mn+2）x+n²-3=0，则x1+x2=-

2mn+2

1+m2

，x1x2=

n2

1+m2

=1，
所以x1x2+3(x 1+x2)+8=

n2-3

1+m2

+

-6mn-6

1+m2

+

1+8m2

1+m2

=0，
由此可得8m²-6mn+n²=1，也即（3m-n）²=1+m²，

|3m-n|

1+m2

=1…（※）．
假设存在定圆（x-a）²+（y-b）²=r²，总与直线FG相切，则
d=

|ma-b+n|

1+m2

是定值r，即d与m，n无关，与

|3m-n|

1+m2

=1…（※）对比，有

a=-3 b=0

，
此时d=r=

|3m-n|

1+m2

=1，故存在定圆（x+3）²+y²=1，
当直线FG的斜率不存在时，x₁=x₂=-2，直线FG的方程是x=-2，显然和圆相切．
故直线FG能恒切于一个定圆（x+3）²+y²=1．…14分．

点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆、直线与圆的位置关系，考查探索性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．